Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面平面.

（1）证明：

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）中点为，连接和，证明平面，即可证明；

（2）由（1）知，、、两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.

（1）设中点为，连接和，如图所示，

在中，，为中点，所以，

又四边形为菱形，，所以是等边三角形，

为中点，所以，

又，所以平面，

又因为平面，所以.

（2）由（1）知，、、两两垂直，

以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量，

则，令，则，，

所以；

设平面的法向量，

则，令，则，，

所以；

因为二面角是锐角，

所以，

即二面角的余弦值为.