Question

已知函数
（1）求f（x）的定义域与值域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）研究f（x）的单调性．

Answer 1

解：原函数化为：．
（1）令分母4^x+1≠0，该不等式恒成立，故定义域为R
函数的解析式可以变为，由于4^x+1＞1，故0＜＜1
故0＜＜2，
∴f（x）的值域是（-1，1）
（2）函数是一个奇函数，证明如下
，故是一个奇函数．
（3）f（x）在（-∞，+∞）是一个增函数，证明如下
由于，在（-∞，+∞）上，2^x+1递增且函数值大于0，在（-∞，+∞）上是减函数，
故在（-∞，+∞）上是增函数．
分析：原函数化为：：
（1）求f（x）的定义域可令分母4^x+1≠0求解，对函数的解析式进行变化，判断出值域即可值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性并证明，本函数是一个奇函数，由定义法证明即可；
（3）判断f（x）在（-∞，+∞）的单调性并证明，由解析式可以看出本函数在（-∞，+∞）是一个减函数，可由复合函数的单调性的判断方法判断证明即可．
点评：本题考查函数单调性的、奇偶性的判断与证明以及函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法．