Question

已知AB是抛物线y²=2Px的任意一条焦点弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求证y₁y₂=-p²，x₁x₂=

p2

4

；
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：

1

m

+

1

n

=

2

p

．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线方程可得焦点坐标，根据点斜式设出焦点弦的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理可求得y₁y₂同理可求得x₁x₂原式得证．
（2）假设直线斜率存在，则可设出直线方程与抛物线方程联立消去y可求得x₁+x₂，再根据抛物线的定义可求得m+n和mn，进而可求得

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．再看当斜率不存在时，也符合．综合可推断

1

m

+

1

n

=

2

p

．

解答：证明（1）：因为抛物线y²=2px的焦点为（

p

2

，0）所以过焦点的弦为y=k（x-

p

2

），即x=

y

k

+

p

2

与y²=2px联立有：y²-

2py

k

-p²=0，所以y₁y₂=-p²
同理可得x₁x₂=

p2

4

当直线斜率不存在时，结论也成立．
原式得证．
（2）：①设AB：y=k（x-

p

2

），直线方程与抛物线方程联立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0．
∴x₁+x₂=

k2p+2p

k2

．
又由抛物线定义可得
m+n=x₁+x₂+p=

2k2p+2p

k2

=

2p(k2+1)

k2

，
m•n=（x₁+

p

2

）（x₂+

p

2

）=

p 2(k2+1)

k2

，
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．
②若k不存在，则AB方程为x=-

p

2

，显然符合本题．
综合①②有

1

m

+

1

n

=

2

p

．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系．当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题．