Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n=$\frac{1}{2}$S_n-5n（n≥1且n∈N^*）．
（I）求证：数列{a_n-10}为等比数列；
（II）记b_n=（3n-2）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=1时，a₁=S₁，可得n＞1，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）${b_n}=（3n-2）（-20•{2^{n-1}}+10）$=（-30n+20）（2ⁿ-1），运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）证明：n=1时，a₁=S₁，由${a_1}=\frac{1}{2}{S_1}-5$，得a₁=-10，
${a}_{n}=\frac{1}{2}{S}_{n}-5n（n≥1）$且n∈N^*①
${a_{n-1}}=\frac{1}{2}{S_{n-1}}-5（n-1）（n≥2$且n∈N^*）②
由①-②得，${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{1}{2}{a_n}-5n+5（n-1）（n≥2$且n∈N^*）
整理得a_n=2a_n-1-10，
∴$\frac{{{a_n}-10}}{{{a_{n-1}}-10}}=2（n≥2$且n∈N^*），
∴{a_n-10}为等比数列，首项a₁-10=-20，公比为2． 
∴${a_n}-10=-20•{2^{n-1}}$即${a_n}=-20•{2^{n-1}}+10$．
（Ⅱ）${b_n}=（3n-2）（-20•{2^{n-1}}+10）$=（-30n+20）（2ⁿ-1），${T_n}=-10×（2-1）-40×（{2^2}-1）-70×（{2^3}-1）+…+（-30n+20）（{2^n}-1）$
=-10[1×2+4×2²+7×2³+…+（3n-2）2ⁿ]+[10+40+70+…+（30n-20）]
=-10[1×2+4×2²+7×2³+…+（3n-2）2ⁿ]+（15n-5）n，
令${M_n}=1×2+4×{2^2}+7×{2^3}+…+（3n-2）{2^n}$③
$2{M_n}=1×{2^2}+4×{2^3}+…+（3n-5）{2^n}+（3n-2）{2^{n+1}}$④
由③-④得，$-{M_n}=1×2+3（{2^2}+{2^3}+…+{2^n}）-（3n-2）{2^{n+1}}$，
$-{M_n}=2+\frac{{3×4（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（3n-2）{2^{n+1}}$=-10-（3n-5）•2ⁿ⁺¹，
${M_n}=10+（3n-5）{2^{n+1}}$．
即${T_n}=-100-10（3n-5）{2^{n+1}}+（15n-5）n$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：错位相减法和分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．