Question

已知

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（cos2θ，sin2θ），

c

=（0，1）．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求角θ；
（Ⅱ）设f（θ）=

a

•（

b

-

c

），当θ∈（0，

π

2

）时，求f（θ）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由向量共线的坐标表示，结合两角差的正弦公式，即可求得θ；
（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，化简f（θ），再由余弦函数的单调性即可求得值域．

解答： 解：（Ⅰ）由于

a

∥

b

，
即有cosθsin2θ=sinθsin2θ，
即cosθsin2θ-sinθsin2θ=0，
即sinθ=0，解得，θ=kπ，k∈Z；
（Ⅱ）f（θ）=

a

•（

b

-

c

）=

a

•

b

-

a

•

c

=cosθcos2θ+sinθin2θ-sinθ
=cosθ-sinθ=

2

（

2

2

cosθ-

2

2

sinθ）
=

2

cos（θ+

π

4

）
由于θ∈（0，

π

2

），则θ+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
cos（θ+

π

4

）∈（-

2

2

，

2

2

）
则f（θ）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查向量的共线和向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，考查余弦函数的单调性及运用，考查运算能力，属于中档题．