Question

如图，在直角坐标系xOy中，△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）为正三角形，A1(-

1

4

，0)，|AiAi+1|=2i-1(i=1，2，3，…，n，…)．
（1）求证：点B₁，B₂，…，B_n，…在同一条抛物线上，并求该抛物线C的方程；
（2）设直线l过坐标原点O，点B₁关于l的对称点B′在y轴上，求直线l的方程；
（3）直线m过（1）中抛物线C的焦点F并交C于M、N，若

MF

=λ

FN

(λ＞0)，抛物线C的准线n与x轴交于E，求证：

EF

与

EM

-λ

EN

的夹角为定值．

Answer 1

分析：（1）设B_n（x，y），先根据图形中三角形求得其坐标x，y，消去n得到x，y的关系，是一个抛物线方程，从而证得点B₁，B₂，…，B_n，…在同一条抛物线上；
（2）由（1）得出B1的坐标，从而写出线段OB1的长度，再结合对称性求得对称点的坐标，最后根据直线的两点式方程写出直线方程即可；
（3）先设M，N在直线n上的射影为M'，N'，利用向量的运算证得向量：

EF

与

EM

-λ

EN

互相垂直，从而得出：

EF

与

EM

-λ

EN

的夹角为定值．

解答：解：（1）设B_n（x，y），则

x=- 1 4 +1+3+∧+(2n-3)+ 2n-1 2 =(n- 1 2 )2 y= 3 2 (2n-1) ， 消去n得y2=3x. 所以点B1，B2，∧，Bn，∧在同一条抛物线y2=3x上．(5分)

（2）由（1）得B1(

1

4

，

3

2

)，所以|OB1|=

13

4

，

因为OB′与点OB1关于直线l对称，则B′(0，± 13 4 ) ∴所求直线方程为y=(2 3 ± 13 )x(5分)

（3）设M，N在直线n上的射影为M'，N'，
则有：

EM

=

EM′

+

M′M

，

EN

=

EN′

+

N′N

．

由于 MM′ =λ N • N ′ 所以 EM -λ EN = EM′ -λ EN′ 因为 EF ⊥( EM′ -λ EN′ )，所以 EF ⊥( EM -λ EN ). 所以 EF 与 EM -λ EN 的夹角为90°(定值)．(5分)

点评：本小题主要考查抛物线的定义、向量在几何中的应用、直线与圆锥曲线的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．