Question

已知圆C：x²-2ax+y²-4y+a²=0（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2

2

时．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．

Answer 1

分析：（I）将圆C化成标准方程得到圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式算出C到直线l的距离，根据题意利用垂径定理建立关于a的方程，解之即可得到实数a的值；
（II）根据（I）的计算可得圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，设所求切线为m：y-5=k（x-3），利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k=

5

12

，可得直线m方程为5x-12y+45=0．再由当直线m的斜率不存在时方程为x=3，也与圆C相切，可得过点（3，5）并与圆C相切的直线方程．

解答：解：（I）∵圆C方程为x²-2ax+y²-4y+a²=0，
∴化成标准方程得（x-a）²+（y-2）²=4，
可得圆心为C（a，2），半径r=2．
由此可得C到直线l：x-y+3=0的距离为d=

|a-2+3|

2

=

2

2

|a+1|，
∵直线l被圆C截得的弦长为2

2

，
∴根据垂径定理，可得

r2-d2

=

2

，
即

4- 1 2 (a+1)2

=

2

，
解得a=1或-3，
结合a＞0，可得a=1（负值舍去）；
（II）由（I）可得圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，
设过点（3，5）并与圆C相切的直线为m：y-5=k（x-3），
即kx-y-3k+5=0，
∵直线m与圆C相切，
∴点C到直线m的距离等于半径，
即

|k-2-3k+5|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

，
可得直线m方程为y-5=

5

12

（x-3），
化简得5x-12y+45=0．
又∵当经过点（3，5）的直线斜率不存在时，方程为x=3，也与圆C相切，
∴所求切线方程为x=3和5x-12y+45=0．

点评：本题给出含有参数a的圆方程，在已知定直线被圆截得弦长时求参数a的值，并求经过定点的圆的切线方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．