Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 P，Q两点，当直线 PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得

QP

•

TP

=

PQ

•

TQ

？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意，知c=1，再求出b²与a²即可；
（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得出关于x的一元二次方程；
再设出P、Q的坐标，表示出线段PQ的中点R，根据

QP

•

TP

=

PQ

•

TQ

得出TR是线段PQ的垂直平分线；
利用直线TR的方程，求出T点的横坐标t的取值范围，即可得出结论．

解答： 解：（1）根据题意，得c=1；
又

b

c

=tan60°=

3

，所以b²=3，
且a²=b²+c²=4，
所以椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1； 

（2）设直线PQ的方程为：y=k（x-1），（k≠0），
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0；
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为R（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y0=k(x0-1)=-

3k

3+4k2

，
由

QP

•

TP

=

PQ

•

TQ

得：

PQ

•(

TQ

+

TP

)=

PQ

•(2

TR

)=0，
所以直线TR为线段PQ的垂直平分线；
直线TR的方程为：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0得：T点的横坐标t=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
因为k²∈（0，+∞），所以

3

k2

+4∈(4，+∞)，
所以t∈(0，

1

4

)；
所以线段OF上存在点T（t，0），
使得

QP

•

TP

=

PQ

•

TQ

，其中t∈(0，

1

4

)．

点评：本题考查了椭圆的性质与应用的问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，直线垂直关系的应用问题以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目．