Question

16．设0＜m＜$\frac{1}{2}$，若$\frac{1}{3m}$+$\frac{6}{1-2m}$≥k恒成立，则k的最大值为$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 设$\frac{1}{2}-m$=n，可得$\frac{1}{3m}$+$\frac{6}{1-2m}$=$\frac{1}{3m}$+$\frac{3}{n}$=（$\frac{1}{3m}$+$\frac{3}{n}$）2（m+n）=2（$\frac{10}{3}$+$\frac{n}{3m}$+$\frac{3m}{n}$），由基本不等式和恒成立可得．

解答 解：∵$\frac{6}{1-2m}$=$\frac{3}{\frac{1}{2}-m}$，设$\frac{1}{2}-m$=n，
则$\frac{1}{3m}$+$\frac{6}{1-2m}$=$\frac{1}{3m}$+$\frac{3}{n}$，
∵m+n=$\frac{1}{2}$，∴2（m+n）=1，
∴$\frac{1}{3m}$+$\frac{3}{n}$=（$\frac{1}{3m}$+$\frac{3}{n}$）2（m+n）
=2（$\frac{10}{3}$+$\frac{n}{3m}$+$\frac{3m}{n}$）≥2（$\frac{10}{3}$+2$\sqrt{\frac{n}{3m}•\frac{3m}{n}}$）=$\frac{32}{3}$，
当且仅当$\frac{n}{3m}$=$\frac{3m}{n}$即m=$\frac{1}{8}$且n=$\frac{3}{8}$时，$\frac{1}{3m}$+$\frac{6}{1-2m}$取最小值$\frac{32}{3}$，
∵$\frac{1}{3m}$+$\frac{6}{1-2m}$≥k恒成立，∴$\frac{32}{3}$≥k恒成立，
∴k的最大值为$\frac{32}{3}$，
故答案为：$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题，换元并构造可用基本不等式的性质是解决问题的关键，属中档题．