Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F分别为BC，PE的中点，AF⊥平面PED．
（1）求证：PA⊥平面ABCD
（2）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AE，

∵AF⊥平面PED，ED平面PED，

∴AF⊥ED，

在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，

∴AE=2， ，

∴AE2+ED2=AD2，∴AE⊥ED，

又∵AF∩AE=A，AF平面PAE，PA平面PAE，

∴ED⊥平面PAE，∵PA平面PAE，

∴ED⊥PA，

又PA⊥AD，AD∩ED=D，AE平面ABCD，AD平面ABCD，

∴PA⊥平面ABCD．

（2）以E为坐标原点，以EA，ED为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，2，0）， ， ，

∵AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，

又F为PE中点，∴PA=AE=2，

∴P（0，2，2），F（0，1，1），

∴ ， ， ，

设平面AFD的法向量为 ，

由 ， 得， ，

令x=1，得 ．

设直线BF与平面AFD所成的角为θ，则： ，

即直线BF与平面AFD所成角的正弦值为 ．

【解析】（1.）利用勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，由AF⊥平面PED得DE⊥AF，故而DE⊥平面PAE，于是DE⊥PA，结合PA⊥AD得出PA⊥平面ABCD；

（2.）以E为原点建立空间坐标系，求出平面ADF的法向量 ，则|cos＜ ＞|为直线BF与平面AFD所成角的正弦值．

【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．