Question

【题目】设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若 =3n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+1，∴an=2Sn﹣1+1，（n≥2）， 两式相减得：an+1﹣an=2an ， 即 =3．
又n=1时，a2=2a1+1=3，∴ ，
∴{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列．
∴an=3n﹣1 ．
（II）bn=（3n﹣1）an=（3n﹣1）3n﹣1 ，
∴Tn=230+531+832+…+（3n﹣1）3n﹣1 ， ①
∴3Tn=231+532+833+…+（3n﹣1）3n ， ②
∴﹣2Tn=2+32+33+34+…+3n﹣（3n﹣1）3n
= ﹣1﹣（3n﹣1）3n=（ ）3n﹣ ，
∴Tn=（ ﹣ ）3n+ ．
【解析】（I）由条件得an=2Sn﹣1+1（n≥2），与条件式相减可得 =3，再验证 即可得{an}为等比数列，从而求出通项公式；（II）化简得bn=（3n﹣1）3n﹣1 ， 使用错位相减法求和即可．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．