Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=3，且c=

2

，a=2，求b的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为

2

sin（2x+

π

4

）+2，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调增区间．
（2）在△ABC中，由f（C）=3 求得sin（2C+

π

4

）=

2

2

，由此求得C的值，再由正弦定理求得 sinA=1，可得A的值，可得 B=C=

π

4

，可得b=c．

解答：解析：（1）函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=

1

2

（1-cos2x）+sin2x+

3

2

（1+cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（C）=

2

sin（2C+

π

4

）+2=3，∴sin（2C+

π

4

）=

2

2

，∴C=

π

4

．
由c=

2

，a=2 以及正弦定理得：

c

sinC

=

a

sinA

，解得 sinA=1，A=

π

2

，故 B=C=

π

4

，
故 b=c=

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，复合三角函数的单调性，属于中档题．