Question

如图，在一直线上共插有14面小旗，相邻两面之间距离为10m，在第一面小旗处有一人，他要把小旗全部集中到某一面小旗的位置处，每次只能拿一面小旗．
（1）若要集中到第14面小旗处，求他走的路程和；
（2）要使他走的路程和最短，应集中到哪一面小旗的位置位？最短路程是多少？

Answer 1

【答案】分析：设将旗集中到第x面小旗处，分析他所走过的路程，并利用等差数列前n项和公式，求出路程和，求出路程S与集合点x之间的关系式：
（1）将x=14代入，可得要集中到第14面小旗处，他走的路程和；
（2）根据二次函数图象和性质，结合x∈N₊，可得要使他走的路程和最短，应集中小旗的位置及最短路程．
解答：解：设将旗集中到第x面小旗处，
则从第一面旗到第x面旗处，共走路程为10（x-1），
然后回到第二面处再到第x面处是20（x-2），
…
从第x面处到第x+1面处路程为20，
从第x面处到第x+2面取旗再到第x面处，路程为20×2，
…
从第x面处到第14面取旗再到第x面处，路程为20×（14-x）
总的路程：S=10（x-1）+20（x-2）+…+20×2+20×1+20×1+20×2+…+20×（14-x）
=10（2x²-31x+211），
（1）当x=14时，S=10×（2×14²-31×14+211）=1690，
即要集中到第14面小旗处，他走的路程和1690m；
（2）∵S=2x²-31x+211
∴x=是函数图象的对称轴
又∵x∈N₊，
∴当x=8时，S取最小值910
即要使他走的路程和最短，应集中到第8面小旗的位置位，最短路程是910m
点评：本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和．