Question

设函数f ( x ) = λ x，其中λ > 0。

（1）求λ的取值范围，使函数f ( x )在区间 [ 0，+ ∞ ])上是单调函数；

（2）此种单调性能否扩展到整个定义域( ∞，+ ∞ )上？

（3）求解不等式2 x < 12。

Answer 1

解析：（1）f ' ( x ) = λ，由f ' ( x ) ≤ 0，得( x + 1 ) ² ≥，x ≤ 1或x ≥ 1，由 1 ≤ 0，得λ ≥，即当λ ≥时，f ( x )在区间 [ 0，+ ∞ ])上是单调递减函数；

（2）因为无论λ取何值，( ∞， 1 )]∪[ 1，+ ∞ ]) Ì ( ∞，+ ∞ )，所以此种单调性不能扩展到整个定义域( ∞，+ ∞ )上；

（3）令t =，则x = t ³ 1，不等式可化为2 t ³ t 14 < 0，即 ( t 2 ) ( 2 t ² + 4 t + 7 ) < 0，而2 t ² + 4 t + 7 > 0，∴ t 2 < 0，即t < 2，∴ < 2，x < 7。