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已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.
(1)求△ABC的顶点B、C的坐标;
(2)若圆M经过不同的三点A、B、P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程;
(3)问圆M是否存在斜率为1的直线l,使l被圆M截得的弦为DE,以DE为直径的圆经过原点.若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.

解:(1)∵AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,即为x轴,
∴直线AC的方程为y轴,即为直线x=0,又直线CD:2x-2y-1=0,
联立得:解得:∴C(0,-),
设B(b,0),又A(0,1),
∴AB的中点D(),
把D坐标代入方程2x-2y-1=0得:b-1-1=0,解得:b=2,
∴B(2,0);(4分)
(2)由A(0,1),B(2,0)可得:
线段AB中点坐标为(1,),kAB=-
∴弦AB垂直平分线的斜率为2,
则圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,①
又圆M与x-y+3=0相切,切点为(-3,0),且x-y+3=0的斜率为1,
∴圆心所在直线方程的斜率为-1,
则圆心所在直线为y-0=-x+3),即y+x+3=0,②
联立①②,
解得:,∴M(),(6分)
∴半径|MA|==,所以所求圆方程为(x+2+(y+2=
即x2+y2+x+5y-6=0. (8分)
(3)假设存在直线l,不妨设所求直线l方程为y=x+k,D(x1,y1),E(x2,y2
联立方程得:2x2+(2k+6)x+k2+5k-6=0…(9分)
又△=(2k+6)2-8(k2+5k-6)>0得-7<k<3…(10分)
,x1+x2=-(k+3),…(11分)
依题意得 x1x2+y1y2=0…(12分)
故k2+2k-6=0解得:…(13分)
经验证,满足题意.
故所求直线方程为:…(14分)
分析:(1)由AC边上的BH所在的直线方程为y=0,即为x轴,根据两直线垂直时满足的关系,得到AC所在直线应为y轴,即x=0,与中线CD所在的直线方程联立组成方程组,求出方程组的解集得到C的坐标,由B在x轴上,设出B的坐标为(b,0),利用中点坐标公式表示出AB的中点坐标,代入中线CD所在直线的方程,求出b的值,确定出B的坐标;
(2)根据垂径定理得到弦AB的垂直平分线过圆心M,根据AB的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出弦AB垂直平分线的斜率,再由AB中点坐标,写出弦AB垂直平分线的方程,又圆M与直线x-y+3=0相切,由切点P以及求出的斜率写出此直线的方程,与弦AB垂直平分线的方程联立组成方程组,求出方程组的解可得出圆心M的坐标,再由A和M的坐标,利用两点间的距离公式求出|AM|的长,即为圆M的半径,由圆心和半径写出圆M的标准方程,化简后即可得到圆M的方程.
(3)设出直线方程利用直线与圆的方程联立方程组,通过判别式与韦达定理,利用DE为直径的圆经过原点.得到x1x2+y1y2=0,求出k的值,然后求出直线方程.
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:线段中点坐标公式,两直线垂直时斜率满足的关系,直线的点斜式方程,切线的性质,垂径定理,以及圆的标准方程,是一道综合性较强的常考题.
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在直角坐标系xoy中,已知△ABC的顶点A(-1,0)和C(1,0),顶点B在椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
上,则
sinA+sinC
sinB
的值是(  )
A、
3
2
B、
3
C、4
D、2

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已知△ABC的顶点A(2,8),B(-4,0),C(6,0),
(1)求直线AB的斜率; 
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.

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已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C 为动点,且满足|AC|+|BC|=
54
|AB|
,求点C的轨迹方程,并说明它是什么曲线.

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已知△ABC的顶点A(1,3),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-3y+2=0,AC边上的高BH所在直线方程为2x+3y-9=0.求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线BC的方程.

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已知△ABC的顶点A(0,-4),B(0,4),且4(sinB-sinA)=3sinC,则顶点C的轨迹方程是
y2
9
-
x2
7
=1
(y>3)
y2
9
-
x2
7
=1
(y>3)

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