Question

函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为g（a），a∈R，
（1）求g（a）；
（2）若g（a）=

1

2

，求a及此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①

a

2

小于-1时②

a

2

大于-1而小于1时③

a

2

大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；（2）把

1

2

代入到第一问的g（a）的第二和第三个解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．

解答：解：（1）f（x）=1-2a-2acosx-2（1-cos²x）
=2cos²x-2acosx-1-2a
=2（cosx-

a

2

）²-

a2

2

-2a-1．
若

a

2

＜-1，即a＜-2，则当cosx=-1时，f（x）有最小值g（a）=2（-1-

a

2

）²-

a2

2

-2a-1=1；
若-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2，则当cosx=

a

2

时，f（x）有最小值g（a）=-

a2

2

-2a-1；
若

a

2

＞1，即a＞2，则当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1-

a

2

）²-

a2

2

-2a-1=1-4a．
∴g（a）=

1 (a＜-2) - a2 2 -2a-1 (-2≤a≤2) 1-4a (a＞2).

（2）若g（a）=

1

2

，由所求g（a）的解析式知只能是-

a2

2

-2a-1=

1

2

或1-4a=

1

2

．
由

-2≤a≤2 - a2 2 -2a-1= 1 2

?a=-1或a=-3（舍）．由

a＞2 1-4a= 1 2

?a=

1

8

（舍）．
此时f（x）=2（cosx+

1

2

）²+

1

2

，得f（x）_max=5．
∴若g（a）=

1

2

，应a=-1，此时f（x）的最大值是5．

点评：考查学生会利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求学生掌握余弦函数图象的单调性．