Question

3．已知函数f（x）=x²-x，等差数列{a_n}中，a₁=f（x+1），a₂=1，a₃=f（x）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）当数列{a_n}是递减数列时，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀|的值．

Answer 1

分析 （1）由题意结合等差中项的概念求得x，分类求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）由数列{a_n}是递减数列可得a_n=3-n，由此求出等差数列前3项非负，去绝对值后结合等差数列的前n项和求得|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀|的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x，等差数列{a_n}中，a₁=f（x+1）=（x+1）²-（x+1）=x²+x，a₂=1，a₃=f（x）=x²-x，
∴2×1=x²+x+x²-x=2x²，即x=±1．
当x=-1时，a₁=0，公差d=a₂-a₁=1，∴a_n=n-1；
当x=1时，a₁=2，公差d=a₂-a₁=1-2=-1，∴a_n=2+（n-1）×（-1）=3-n．
（2）∵数列{a_n}是递减数列，∴a_n=3-n，
由a_n=3-n≥0，得n≤3．
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀|=a₁+a₂+a₃-（a₄+a₅+…+a₂₀）
=2（a₁+a₂+a₃）-（a₁+a₂+…+a₂₀）=2（2+1+0）-20×2+$\frac{20×19×（-1）}{2}$=-224．

点评 本题考查数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是中档题．