Question

设直线y=2x-4与抛物线y²=4x交于A，B两点（点A在第一象限）．
（Ⅰ）求A，B两点的坐标；
（Ⅱ）若抛物线y²=4x的焦点为F，求cos∠AFB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直线y=2x-4与抛物线y²=4x，消y得一元二次方程，解方程，即可确定A，B两点的坐标；
（Ⅱ）解一：确定

FA

=(3，4)，

FB

=（0，-2），利用向量的夹角公式，可求cos∠AFB的值．
解二：求出|AB|、|FA|、|FB|=2，利用余弦定理，可求cos∠AFB的值．

解答：解：（Ⅰ）由

y2=4x y=2x-4

，消y得：x²-5x+4=0…（3分）
解出x₁=1，x₂=4，于是，y₁=-2，y₂=4
因点A在第一象限，所以A，B两点坐标分别为A（4，4），B（1，-2）…（6分）
（Ⅱ）解一：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0）…（8分）
由（Ⅰ）知，A（4，4），B（1，-2），

FA

=(3，4)，

FB

=（0，-2）…（10分）
于是，cos∠AFB=

FA • FB

| FA |•| FB |

=

(3，4)•(0，-2)

5×2

=-

4

5

…（14分）
解二：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0）…（8分）
由两点间的距离公式可得|AB|=

(4-1)2+(4+2)2

=3

5

，|FA|=5，|FB|=2…（11分）
由余弦定理可得cos∠AFB=

|FA|2+|FB|2-|AB|2

2|FA||FB|

=

25+4-45

2×5×2

=-

4

5

…（14分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查角的计算，正确运用向量知识、余弦定理是关键．