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已知向量
m1
=(0,x),
n1
=(1,1),
m2
=(x,0),
n2
=(y2,1)(其中x,y是实数),又设向量
m
=
m1
2
n2
n
=
m2
-
2
n1
,且
m
n
,点P(x,y)的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与y轴的正半轴的交点为M,过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N,当|MN|=
4
3
2
时,求直线 l 的方程.
分析:(1)由已知
m
=(0,x)+(
2
y2
2
)   =(
2
y2,x+
2
)
n
=(x,0)-(
2
2
)  =(x-
2
,-
2
)
,由
m
n
,能导出所求曲线C的方程.
(2)由点M(0,1),知直线l与x轴不垂直.设直线l的方程为y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2),由
x2
2
+y2=1
y=kx+1
,得(1+2k2)x2+4kx=0,由此能得到所求直线的方程.
解答:解:(1)由已知
m
=(0,x)+(
2
y2
2
)   =(
2
y2,x+
2
)

n
=(x,0)-(
2
2
)  =(x-
2
,-
2
)
,(2分)
m
n
,∴
2
y2(-
2
) -(x+
2
) (x-
2
) =0
(4分)
即所求曲线C的方程是:
x2
2
+y2=1
(6分)
(2)由(1)求得点M(0,1).显然直线l与x轴不垂直.
故可设直线l的方程为y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2)(8分)
x2
2
+y2=1
y=kx+1
,消去y得:(1+2k2)x2+4kx=0,解得x1=0,x2=
-4k
1+2k2
.(10分)
由|MN|=
1+k2
|
4k
1+2k2
| =
4
2
3
,解得:k=±1(12分)
∴所求直线的方程为x-y+1-0或x+y-1=0.(14分)
点评:本题考查直线方程和曲线方程的求法,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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