Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA1=2

2

，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥平面CDE；
（2）求三棱锥A₁-CDE的体积．

Answer 1

分析：（1）先证CD⊥平面ABB₁A₁，可得A₁B⊥CD，再由正方形的性质可得A₁B⊥DE，从而证得A₁B⊥平面CDE．
 （2）求出棱锥的底面CDE的面积，再求出锥高A₁M，代入体积公式进行运算．

解答：解：（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB中点，CD⊥AB，又BB₁⊥CD，∴CD⊥平面ABB₁A₁ ．
又∵A₁B?平面ABB₁A₁，∴A₁B⊥CD，又∵ABB₁A₁是正方形，AB₁∥DE，A₁B⊥DE．
CD∩DE=D，A₁B⊥平面CDE．
（2）CD=

2

，DE=

1

2

AB1=2，∴S△CDE=

2 2

2

=

2

，A₁M=A₁B-BM=4-1-3，
∴VA1-CDE=

1

3

×S△CDE×A1M=

2

．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，求棱锥的高A₁M 是解题的难点．