Question

设定点M（3，）与抛物线y²=2x上的点P的距离为d₁，P到抛物线准线l的距离为d₂，则d₁+d₂取最小值时，P点的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（1，）
C．（2，2）
D．（）

Answer 1

【答案】分析：先判断出M（3，）在抛物线y²=2x的外部然后做出图形（如下图）则PM=d₁过p作PN⊥直线x=则PN=d₂，根据抛物线的定义可得d₁+d₂=PM+PF故要使d₁+d₂取最小值则只有当P，M，F三点共线时成立因此可求出MF所在的直线方程然后与抛物线的方程联立即可求出P点的坐标．
解答：解：∵（3，）在抛物线y²=2x上且
∴M（3，）在抛物线y²=2x的外部
∵抛物线y²=2x的焦点F（，0），准线方程为x=-
∴在抛物线y²=2x上任取点P过p作PN⊥直线x=则PN=d_2，
∴根据抛物线的定义可得d₂=PF
∴d₁+d₂=PM+PF
∵PM+PF≥MF
∴当P，M，F三点共线时d₁+d₂取最小值
此时MF所在的直线方程为y-=（x-3）即4x-3y-2=0
令则即当点的坐标为（2，2）时d₁+d₂取最小值
故选C
点评：本题主要考察抛物线的性质，属常考题，较难．解题的关键是将d₁+d₂=PM+PN根据抛物线的定义转化为d₁+d₂=PM+PF！