Question

已知函数，．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时恒成立，求的取值范围；
(3)若，求证：．

Answer 1

(1) - (2)  (3)见解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1) 函数，．因为，求解函数的导数得到极值；
(2)当时恒成立，只要构造新函数，利用导数判定单调性得到证明。
(3) 由（2）知当时有即
所以
然后利用放缩法的思想得到证明。．
解：（1）极大值为，极小值为…………………….4分
（2）设
         
注意到
若即，，使

	递减，
	递减，
	递减，

这与题目要求矛盾.
若即， 当时，进而在上递增，从而，于是上递增，所以，故在上递增，所以恒成立，满足题目要求.
综上所述，的取值范围是………………………………………………..9分
（3）由（2）知当时有即
所以
从而

证毕……………………14分