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精英家教网如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,△ABC为正三角形,D、E、F分别是BC,PB,CA的中点.
(1)证明平面PBF⊥平面PAC;
(2)判断AE是否平行于平面PFD,并说明理由;
(3)若PC=AB=2,求三棱锥P-DEF的体积.
分析:(1)先根据PC⊥平面ABC,BF?平面ABC得到PC⊥BF;再结合BF⊥AC即可得到BF⊥平面PAC,进而证明结论;
(2)先假设AE∥平面PFD,借助于假设证得平面ABE∥平面PFD,与P∈平面PFD,P∈平面ABE相矛盾,即可说明结论;
(3)直接根据D,E,F分别为BC,PB,CA的中点,把所求体积进行转化;转化为
1
2
VP-BDF即可求出结论.
解答:解:(1)∵PC⊥平面ABC,BF?平面ABC.
∴PC⊥BF.由条件得BF⊥AC,PC∩AC=C.
∴BF⊥平面PAC,BF?平面PBF,
∴平面PBF⊥平面PAC.
(2):AE不平行于平面PFD.
反证法:假设AE∥平面PFD,
∵AB∥FD,FD?平面PFD.
∴AB∥平面PFD.
∵AE∩AB=A,
∴平面ABE∥平面PFD.
∵P∈平面PFD,P∈平面ABE.矛盾.
则假设不成立,
所以:AE不平行于平面PFD
(3)∵D,E,F分别为BC,PB,CA的中点.
∴VP-DEF=VC-DEF=VE-DFC=VE-BDF
=
1
2
VP-BDF
=
1
2
×
1
3
×S△BDF•PC
=
1
2
×
1
3
×
1
4
S△ABC•PC
=
1
2
×
1
3
×
1
4
×
1
2
×2×2×
3
2
×2
=
3
12
点评:本题主要考查平面与平面垂直的判定以及棱锥体积的求法.棱锥体积的求法常用转化思想,变为易求的几何体的体积,考查计算能力.
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1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,则正实数a的最小值为
 

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3
,则PA=
1
1

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