Question

设n∈N^*且n≥2,证明不等式＜1+＜2.

Answer 1

证明：(1)先证左端不等号成立.

①n=2时,1+成立.

②设n=k(k≥2)时,1+＞成立.

当n=k+1时,有1+

=

=

＞,

即n=k+1时,1+成立.

由①②知,对于任何n∈N^*(n≥2)不等式左端成立.

(2)再证右端不等式,

①当n=2时,1+成立.

②假设n=k时,＜成立,

当n=k+1时,,

下面证明,

∵(基本不等式放缩)==0,

∴,

即当n=k+1时,成立.

由①②知对任意n∈N^*(n≥2)不等式右端成立.

综上两部分证明知原不等式成立.