Question

过△ABC所在平面R外一点P作P0⊥α，垂足为0，连接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，则点0是△ABC的

外

 心；
（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点0是△ABC的

垂

心．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的性质，可得若PA=PB=PC，可得AO=BO=CO，则点0是△ABC的外心；
（2）由线面垂直的判定定理，得PA⊥PB，PC⊥PA则PA⊥平面PBC，得PA⊥BC．结合三垂线定理，得到AO⊥BC．同理可得BO⊥AC、CO⊥AB，由此可得点0是△ABC的垂心．

解答：解：（1）若PA=PB=PC，
∵P0⊥α，垂足为0，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PBO
可得AO=BO=CO，得点0是△ABC的外心
（2）若PA⊥PB，PC⊥PA，PC⊥PA，
∵PB、PC是平面PBC内的相交直线
∴PA⊥平面PBC，可得PA⊥BC
∵AO是PA在平面ABC内的射影，
∴AO⊥BC，同理可得BO⊥AC、CO⊥AB
因此，点0是△ABC的垂心
故答案为：外、垂

点评：本题给出三棱锥P-ABC满足的条件，求点O与三角形ABC的关系，着重考查了线面垂直的判定与性质和三角形的五心等知识，属于中档题．