Question

（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d₁，F到l的距离为d₂，若d₂=

6

d1，则椭圆C的离心率为

3

3

．

Answer 1

分析：根据“d₂=

6

d1”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d₁=

bc

a

，从而得到a与b的关系，可求得

b

a

，从而求出离心率．

解答：解：如图，准线l：x=

a2

c

，d₂=

a2

c

-c=

b2

c

，
由面积法得：d₁=

bc

a

，
若d₂=

6

d1，则

b2

c

=

6

×

bc

a

，整理得

6

a²-ab-

6

b2=0，
两边同除以a²，得

6

(

b

a

)2+（

b

a

）-

6

=0，解得

b

a

=

6

3

．
∴e=

1-( b a )2

=

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法．