Question

若(

x

+

1

2  4 x

)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：由题意需先求出展开式中前三项的系数利用它们成等差数列求出n，
（1）由公式Tr+1=

C

8 r

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

8 r

x

16-3r

4

，故可知r=0，4，8时，所得的项为有理项，代入求之即可；
（2）展开式中系数最大的项满足这样的条件，比其前的项大，也比其后的项大，由此关系可得限制条件．解不等式求出r既得．

解答：解：易求得展开式前三项的系数为 1，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

．（2分）
据题意 2×

1

2

C

1 n

=1+

1

4

C

2 n

（3分）?n=8（4分）
（1）设展开式中的有理项为T_r+1，由Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

r 8

x

16-3r

4

∴r为4的倍数，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）
Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

r 8

x

16-3r

4

故有理项为：T1=(

1

2

)0

C

0 8

x

16-3×0

4

=x4，
T5=(

1

2

)4

C

4 8

x

16-3×4

4

=

35

8

x，
T9=(

1

2

)8

C

8 8

x

16-3×8

4

=

1

256x2

．（8分）
（2）设展开式中T_r+1项的系数最大，则：(

1

2

)r

C

r 8

≥(

1

2

)r+1

C

r+1 8

且(

1

2

)r

C

r 8

≥(

1

2

)r-1

C

r-1 8

（10分）
?r=2或r=3
故展开式中系数最大项为：T3=(

1

2

)2

C

2 8

x

16-3×2

4

=7x

5

2

T4=(

1

2

)3

C

3 8

x

16-3×3

4

=7x

7

4

．（12分）

点评：本题考查二项式系数的性质，解题的关键是熟练掌握理解二项式系数的性质及相关的公式，求二项式系数的最大项是考试的一个热点，掌握其转化的条件，及转化的思想，在一些求最值的问题中，此做法有推广的必要．