定义在D上的函数f(x).如果满足:对任意x∈D.存在常数M≥0.都有|f是D上的有界函数.其中M称为函数f(x)的一个上界．已知函数f(x)=exa+aex.g(x)=log23+axx+3．其中a＜0为偶函数.求实数a的值,的条件下.求函数g(x)在区间[-1.1]上的所有上界构成的集合,的条件下.是否存在这样的负实数k.使g+g(cos2θ-k2)≥0� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数f（x）=

，g（x）=log₂

3+ax

x+3

．其中a＜0
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）在区间[-1，1]上的所有上界构成的集合；
（3）在（1）的条件下，是否存在这样的负实数k，使g（k-cosθ）+g（cos²θ-k²）≥0
对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过f（x）=

为偶函数，推出a²=1，然后求出a．
（2）求出g(x)=log2

3-x

x+3

，通过单调性求出-1≤g（x）≤1，然后求出函数g（x）在区间[-1，1]上的所有上界构成集合为[1，+∞）．
（3）求出g（x）的定义域为（-3，3），判断f（x）是奇函数．通过f（x）是（-3，3）上的减函数，转化为：

k＜0

-3＜k-cosθ＜3

-3＜cos2θ-k2＜3

k-cosθ≤k2-cos2θ

对θ∈R恒成立，然后求解k的范围．

解答： （本题14分）
解：（1）因为f（x）=

为偶函数，
所以f（-x）=f（x），即

e-x

，
∴(a-

)(ex-

)=0
得a²=1，
而a＜0，故a=-1…（2分）．
（2）由（1）得：g(x)=log2

3-x

x+3

，
而g（x）=log₂（-1+

x+3

），
易知g（x）在区间[-1，1]上单调递减，
所以-1≤g（x）≤1，
所以函数g（x）的值域为[-1，1]，
所以|g（x）|≤1，…（5分）
故函数g（x）在区间[-1，1]上的所有上界构成集合为[1，+∞）．…（6分）
（3）∵g（x）的定义域为（-3，3）
由于f(-x)=lg(

3+x

3-x

)=-lg(

3-x

3+x

)=-f(x)∴f（x）是奇函数．…（7分）
又易知g（x）在区间（-3，3）上单调递减，
∵g（k-cosθ）+g（cos²θ-k²）≥0
∴f（k-cosθ）≥-f（cos²θ-k²）=f（k²-cos²θ）…（8分）
∵f（x）是（-3，3）上的减函数
∴

k＜0

-3＜k-cosθ＜3

-3＜cos2θ-k2＜3

k-cosθ≤k2-cos2θ

对θ∈R恒成立，
由k-cosθ≤k²-cos²θ对θ∈R恒成立，
得：k-k²≤cosθ-cos²θ对θ∈R恒成立．…（10分）
令y=cosθ-cos2θ=

-(cosθ-

)2，

∵cosθ∈[-1，1]∴y∈[-2，

]

，
∴k-k²≤-2⇒k≤-1，
同理：由-3＜k-cosθ＜3对θ∈R恒成立得：-2＜k＜2…（12分）．
由-3＜cos²θ-k²＜3对θ∈R恒成立得：-

＜k＜

…（13分）．
即综上所得：-

＜k≤-1．
所以存在这样的k其范围为-

＜k≤-1…（14分）．

点评：本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及奇偶性以及函数的恒成立问题的应用，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．

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