Question

关于方程x²+2y²-ax+ay-a-1=0（a∈R）表示的椭圆，给出以下四个命题：①椭圆的中心在一条直线上运动；②椭圆的大小不变；③不论a取什么值，椭圆总过两个定点；④椭圆的离心率不变．其中错误命题的个数是

 

．

Answer 1

分析：椭圆的方程化简成标准方程，进而可知椭圆的中心为（

a

2

，-

a

4

）在直线y=

1

2

x上运动判断①正确；根据椭圆的标准方程，求得e=

1

2

为常数，故判断④成立；根据随a的变化椭圆的长轴和短轴均变化，判断②不成立；把椭圆的方程又可写成x²+2y²-1+a（-x+y-1）=0，令

x2+2y2-1=0 -x+y-1=0

消y后根据△＞0判断方程组有两组解，判断③成立．

解答：解：椭圆的方程化简得

(x- a 2 )2

3a2+8a+8 8

+

(y+ a 4 )2

3a2+8a+8 16

=1
则椭圆的中心为（

a

2

，-

a

4

）在直线y=

1

2

x上运动，故①正确．
e=

3a2+8a+8 8 - 3a2+8a+8 16

3a2+8a+8 8

=

1

2

，
∴椭圆的离心率不变，故④成立．
随a的变化，

3a2+8a+8

8

和

3a2+8a+8

16

均变化，故②不成立．
椭圆的方程又可写成x²+2y²-1+a（-x+y-1）=0，令

x2+2y2-1=0 -x+y-1=0

，消y得3x²+4y+1=0
根据△=16-12＞0，可知方程组有两组解．故③成立．
∴命题中只有②不成立
故答案为：1

点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．