Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，在R上单调递增；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；（2）.

【解析】

（1）求出导函数的零点，然后分，，讨论即可.

（2）要使恒成立，只需恒成立，然后分，，，讨论即可.

解：（1）因为，

所以.

①当，即时，

令，得或

令，得，

所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.

②当，即时，恒成立，

所以在R上单调递增.

③当，即时，

令，得或

令，得，

所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.

综上，当时，

的单调递增区间是和，单调递减区间是；

当时，在R上单调递增；

当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（2）由（1）可知.

①当时，即时，

令，得或，

令，得，

则在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

故在上有极大值

.

当时，，

令，得，

故符合题意.

②当，即时，，

所以在上是增函数，

则有最大值，

故符合题意.

③当，即时，

令，得或，

令，得，

则在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

故在上有极大值

，

当时，，

令，得，

故符合题意.

④当即时，

令，得，

令，得，

则在上是增函数，在上是减函数，

故在上有最大值.

，

故符合题意.

综上，a的取值范围是.