Question

已知F₁（-1，0）、F₂（1，0），圆F₂：（x-1）²+y²=1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F₁，F₂为焦点的椭圆．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且|PF1|=

7

3

，求曲线E的标准方程；
（3）在（1）、（2）的条件下，直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0），由动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，知|CF₂|-x=1，由此能求出曲线C的方程．
（2）依题意，c=1，|PF1|=

7

3

，得xp=

2

3

，由此能求出曲线E的标准方程．
（3）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点M的坐标为（x₀，y₀），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0）
因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F₂相外切，
所以|CF₂|-x=1，…（1分）
∴

(x-1)2+y2

=x+1，
化简整理得y²=4x，曲线C的方程为y²=4x（x＞0）； …（3分）
（2）依题意，c=1，|PF1|=

7

3

，
得xp=

2

3

，…（4分）
∴|PF2|=

5

3

，
又由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=

7

3

+

5

3

=4，a=2．…（5分）
∴b²=a²-c²=3，所以曲线E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（3）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
A，B的中点M的坐标为（x₀，y₀），
将A，B的坐标代入椭圆方程中，
得

3x12+4y12-12=0 3x22+4y22-12=0

，
两式相减得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

3x0

4y0

，…（7分）
∵y02=4x0，
∴直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

16

y0，…（8分）
由（2）知xp=

2

3

，
∴yp2=4xp=

8

3

，∴yp=±

2 6

3

由题设-

2 6

3

＜y0＜

2 6

3

(y0≠0)，
∴-

6

8

＜-

3

16

y0＜

6

8

，…（10分）
即-

6

8

＜k＜

6

8

（k≠0）．…（12分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法和等价转化思想的合理运用．