Question

已知函数f（x）=log_a|x+1|（a＞0且a≠1），若当x∈（-1，0）时，f（x）＞0恒成立，则函数f（x）的单调区间为

 

．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得0＜a＜1，由|x+1|＞0，可得x≠-1，在（-1，+∞）和（-∞，-1）上，分别根据函数t=|x+1|的单调性可得f（x）的单调性．

解答： 解：当x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），f（x）=log_a|x+1|＞0恒成立，
故有0＜a＜1，
由|x+1|＞0，可得x≠-1，在（-1，+∞）上，函数t=|x+1|=x+1＞0，且函数t是增函数，故f（x）是减函数；
在（-∞，-1）上，函数t=|x+1|=-x-1＞0，且函数t是减函数，故f（x）是增函数；
故函数的增区间为（-∞，-1），减区间为（-1，+∞），
故答案为：增区间为（-∞，-1），减区间为（-1，+∞）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．