【题目】为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性,并将它们各自量化为1、2、3三个等级,再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养;若w≥7,则数学核心素养为一级;若5≤w≤6,则数学核心素养为二级;若3≤w≤4,则数学核心素养为三级,为了了解某校学生的数学核素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下结果:
学生编号 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
(x,y,z) | (2,2,3) | (3,2,3) | (3,3,3) | (1,2,2) | (2,3,2) | (2,3,3) | (2,2,2) | (2,3,3) | (2,1,1) | (2,2,2) |
(1)在这10名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同的概率;
(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人,其综合指标为a,从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人,其综合指标为b,记随机变量X=a﹣b,求随机变量X的分布列及其数学期望.
【答案】
(1)解:由题可知:建模能力一级的学生是A9;建模能力二级的学生是A2,A4,A5,A7,A10;建模能力三级的学生是A1,A3,A6,A8.
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,
则 .
(2)解:由题可知,数学核心素养一级:A1,A2,A3,A5,A6,A8,数学核心素养不是一级的:A4,A7,A9,A10;X的可能取值为1,2,3,4,5. ; ; ; ; .
∴随机变量X的分布列为:
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P |
|
|
|
|
|
∴ = .
【解析】(1)由题可知:建模能力一级的学生是A9;建模能力二级的学生是A2,A4,A5,A7,A10;建模能力三级的学生是A1,A3,A6,A8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出,P(A).(2)由题可知,数学核心素养一级:A1,A2,A3,A5,A6,A8,数学核心素养不是一级的:A4,A7,A9,A10;X的可能取值为1,2,3,4,5.利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P(X=k)及其分布列与数学期望.
【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)= +a.
(1)当a=2 时,求F(x)=f(x)﹣g(x)在(0,2]的最大值;
(2)讨论函数F(x)=f(x)﹣g(x) 的单调性;
(3)若f(x)g(x)≤0 在定义域内恒成立,求实数a的取值集合.
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【题目】习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市顺潮流、乘东风,闻迅而动,决定利用旅游资源优势,撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况,以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数,画出茎叶图如下:
(1)若景点甲中的数据的中位数是125,景点乙中的数据的平均数是124,求x,y的值;
(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期中任取4天,记其中游客数超过120人的天数为ξ,求概率P(ξ≤2);
(3)现从上图的共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天),记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η,求η的分布列和期望.
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【题目】如图所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形,D是A1C1的中点,且AA1⊥平面ABC,AA1=3.
(Ⅰ)求证:A1B∥平面B1DC;
(Ⅱ)求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值.
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【题目】四面体A﹣BCD中,AB=CD=10,AC=BD=2 ,AD=BC=2 ,则四面体A﹣BCD外接球的表面积为( )
A.50π
B.100π
C.200π
D.300π
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣5|﹣|x﹣2|.
(1)若x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的范围;
(2)求不等式x2﹣8x+15+f(x)≤0的解集.
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【题目】如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF的中点. (I)求证:BE∥平面ACF;
(II)求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角.
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【题目】为了得到函数y= sin(2x﹣ )的图象,只需将函数y=sinxcosx的图象( )
A.向左平移 个单位
B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位
D.向右平移 个单位
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【题目】平面上,点A、C为射线PM上的两点,点B、D为射线PN上的两点,则有 (其中S△PAB、S△PCD分别为△PAB、△PCD的面积);空间中,点A、C为射线PM上的两点,点B、D为射线PN上的两点,点E、F为射线PL上的两点,则有 =(其中VP﹣ABE、VP﹣CDF分别为四面体P﹣ABE、P﹣CDF的体积).
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