Question

已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f₁（x）+f₂（x），且满足下列条件：①f₁（x）是D上的增函数；②f₂（x）是D上的减函数；③函数f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i） 问函数y=sinx+cosx是否是区间上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．

Answer 1

（1）解：（i） y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．
记f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，显然f₁（x）=sinx在上单调递增，f₂（x）=cosx在上单调递减，
且f₂（x）=cosx∈（，1）⊆[0，+∞），
又在上单调递增，
故y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．
（ii）证明：，
记，
显然在上单调递增，f₂（x）=cosx在上单调递减，
且f₂（x）=cosx∈（，1）⊆[0，+∞），
又y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=sinx在上单调递增，
故y=sinx是区间上的“偏增函数”．
（2）证明：①当b＞0时，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）⊆[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，
f₁（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f₂（x）=-x+b在（0，b）上单调递减，
且对任意的x∈（0，b），b＞f₂（x）＞f₂（b）=0，
因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．
②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）⊆[0，+∞），
显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，
f₁（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上单调递增，f₂（x）=-x+b+c在（0，b+c）上单调递减，
且对任意的（0，b+c），b+c＞f₂（x）＞f₂（b+c）=0，
因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），
使f（x）为D上的“偏增函数”．
分析：（1）（i）记f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，根据偏增函数的定义及正余弦函数的性质可作出判断；（ii）f（x）=（sinx-cosx）+cosx，记，根据偏增函数的定义可证明；
（2）分情况讨论：①当b＞0时，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，取D=（0，b）；②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c），根据偏增函数定义即可证明；
点评：本题考查函数的单调性、正余弦函数的性质，考查分类讨论思想，考查学生灵活运用知识分析问题解决新问题的能力，综合性强，难度大．