分析 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面BCA1的法向量和平面PCA1的法向量,由此利用向量法能求出二面角B-CA1-P的大小.
解答 解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,
建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),
P(2,1,0),$\overrightarrow{{CA}_{1}}$=(2,-2,2),$\overrightarrow{CB}$=(2,0,0),$\overrightarrow{CP}$=(2,-1,0),
设平面BCA1的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{CA}_{1}}=2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$,取y=1,得$\overrightarrow{n}$=(0,1,1),
设平面PCA1的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=2a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{CA}_{1}}=2a-2b+2c=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,2,1),
设二面角B-CA1-P的平面角为θ,
cosθ=|cos<$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{m}$>|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴θ=$\frac{π}{6}$,
故答案为:$\frac{π}{6}$.
点评 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知识,以及空间想象能力和逻辑推理能力.
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A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | -3 |
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A. | -$\frac{1}{3}$ | B. | 2 | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | 3 |
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