【题目】圆周上有个点,用弦两两连结起来,其中任何3条弦都不在圆内共点.现将由此形成的互补重叠的圆内区域的个数记为.
(1).直接画图求出,,,,;
(2).确定的表达式.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)由下图可得,,,,
由前4个数值我们会猜测,但否定了这个猜测.
(2)一般地,我们将所求区域分成两部分,一部分是个弓形,另一部分是多边形内被对角线分成的区域.为叙述方便,我们将这些区域称为内区,而对角线交点(下图中)称为结点.
考虑的情况(否则无结点,失去一般性)设多边形的内区中有个三角形,个四边形,,个边形,则边形的内区有(个).
从而,.
可见关键是求出来,分3步进行,
(i)先计算各内区顶点总和的表达式.首先.
由于多边形内每一个结点与多边形的4个顶点一一对应(如上图中,与,,,对应),故结点共有个,且每一内点对应着4个区域.而多边形的每一个顶点可引出条对角线,都是个三角形的公共点,因此,又可表示为,
即. ①
(ii)再计算各内区内角总和的表达式.首先
由于每一个内点都含有一个周角,总和为.而边形的每一个顶点上各角之和为,又有
对比的两种表达式得
. ②
(iii)求出,进而得出.
由①-②得
.
从而,.
这个式子也可以表示为
. ③
若约定,则的通项公式可用上述任一表达式.由于,
所以,③与④的前5项相同,时,猜想就不对了.
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【题目】某旅游景区的景点处和处之间有两种到达方式,一种是沿直线步行,另一种是沿索道乘坐缆车,现有一名游客从处出发,以的速度匀速步行,后到达处,在处停留后,再乘坐缆车回到处.假设缆车匀速直线运动的速度为.
(1)求该游客离景点的距离关于出发后的时间的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)做出(1)中函数的图象,并求该游客离景点的距离不小于的总时长.
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【题目】已知抛物线与二次曲线有4个不同的交点,由下面的草图可以看出,下面三个结论是成立的,请给出证明.
(1).两曲线的4个交点中,至少有两个交点位于轴的下方;
(2).抛物线必与轴有两个不同的交点,记为,,;
(3).两曲线的4个交点中,必存在一点,使.
注.对、、的不同取值会有无数个图形,此处仅就,各给出一个示意图,同时也就限制“由图看出”的解答.
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【题目】冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间有关系,某农科所对此关系进行了调查分析,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式:,.)
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【题目】如图,直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱),AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D 是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F 在BB1上的什么位置时,AB1⊥平面C1DF ?并证明你的结论.
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【题目】某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为,复审能通过的概率为,各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率;
(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.
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