Question

13．函数f（x）=-x³+1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．

Answer 1

分析 先判断函数f（x）是R上的单调递减函数，再运用定义进行证明，作差得f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）[（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²）]，即可下结论．

解答 解：函数f（x）=-x³+1在R上为单调递减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-x₁³+1）-（-x₂³+1）
=x₂³-x₁³
=（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）
=（x₂-x₁）[（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²）]，
其中，x₂-x₁＞0，（x₂+$\frac{1}{2}$x₁）²+$\frac{3}{4}$x₁²＞0恒成立，
所以，f（x₁）＞f（x₂）恒成立，
故f（x）为R上的单调递减函数，证毕．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断和证明，通过对差式进行合理的恒等变形是解题的关键，涉及到作差法和配方法，属于中档题．