Question

（2012•闸北区一模）设{a_n}和{b_n}均为无穷数列．
（1）若{a_n}和{b_n}均为等比数列，试研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）．

Answer 1

分析：（1）讨论两数列的公比，根据等比数列的性质可判定{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列，然后利用等比数列的求和公式解之即可；
（2）利用等比中的乘类比到等差中的和，讨论公差是否为0，从而求出相应的等差数列的前n项和公式．

解答：解：（1）①设c_n=a_n+b_n，
则cn2 -cn+1cn-1= (a1q1n-1+b1q2n-1)   2-（a1

q

n 1

+b1

q

n 2

）（a1

q

n-2 1

+b1

q

n-2 2

）
=a₁b₁

q

n-2 1

q

n-1 2

（q₁-q₂）2
当q₁=q₂时，对任意的n∈N，n≥2，

c

2 n

=c_n+1c_n-1恒成立，
故{a_n+b_n}为等比数列；        （3分）
∴S_n=

n(a1+b1)    ，q1=q2=1 (a1+b1)(1- q n 1 )   1-q1 ，q1=q2≠1

（1分）
当q₁≠q₂时，
对任意的n∈N，n≥2，

c

2 n

≠c_n+1c_n-1，{a_n+b_n}不是等比数列．（2分）
②设d_n=a_nb_n，
对于任意n∈N^*，

dn+1

dn

=

an+1bn+1

anbn

=q1q2，{a_nb_n}是等比数列． （3分）
S_n=

n(a1b1)    ，q1q2=1 a1b1(1- q n 1 q n 2 )   1-q1q2 ，q1q2≠1

  （1分）
（2）设{a_n}，{b_n}均为等差数列，公差分别为d₁，d₂，则：
①{a_n+b_n}为等差数列；S_n=（a₁+b₁）n+

n(n-1)

2

（d₁+d₂）（2分）
②当d₁与d₂至少有一个为0时，{a_nb_n}是等差数列，（1分）
若d₁=0，S_n=a₁b₁n+

n(n-1)

2

a₁d₂；（1分）
若d₂=0，S_n=a₁b₁n+

n(n-1)

2

b₁d₁．（1分）
③当d₁与d₂都不为0时，{a_nb_n}一定不是等差数列．（1分）

点评：本题主要考查了类比推理，以及等比数列与等差数列的判定，同时考查了计算能力和分析求解的能力，属于基础题．