Question

已知定义在R上的函数f(x)ax³+bx²+cx+d(a、b、c、d∈R)．

(1)若f(x)在(-∞，-1)和(3，+∞)上都是增函数，在(-1，3)上是减函数，且f(0)=-7，f′(0)=-18，求函数f(x)的表达式；

(2)若a、b、c满足b²-3ac＜0，求证：f(x)在(-∞，+∞)上是单调函数；

(3)设a＞0，x₁、x₂是函数g(x)=f(x)-ax³-x²-a(a²+c)x的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2，证明：0＜a≤1．

 

Answer 1

解：(1)由f(0)=-7，f′(0)=-18，得d=-7，c=-18．

∵f(x)在(-1，3)上是减函数，在(3，+∞)上是增函数，

∴-1和3是f′(x)=3ax²+2bx-18=0的两根，

∴ 解得．

∴f(x)=2x³-6x²-18x-7

(2)对于f′(x)=3ax²+2bx+c，由b²-3ac＜0，

得△=4b²-12ac=4(b²-3ac)＜0．

∴当a＞0时，f′(x)＞0恒成立，则f(x)是增函数；

当a＜0时，f′(x)＜0恒成立，则f(x)是减函数．

故对于任意实数x,f(x)总是单调函数．

(3)∵x₁，x₂是方程g′(x)=ax²+bx-a²=0的两个根．

∴x₁+x₂=，x₁x₂=-a＜0

∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|==2

∴b²=4a²-4a³≥0  ∴0＜a≤l