Question

已知抛物线C的顶点为P（0，4），焦点为F（0，

15

4

），直线l与抛物线C交于点M、N两点，且∠MPN=90°
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明直线MN过一定点．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,恒过定点的直线

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知设抛物线方程为x²=-2p（y-4），

p

2

=4-

15

4

=

1

4

，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设直线l为y=kx+b，（b≠4）联立

y=kx+b x2=-y+4

，得x²+kx+b-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明直线MN过定点（0，3）．

解答： （Ⅰ）解：∵抛物线C的顶点为P（0，4），焦点为F（0，

15

4

），
∴设抛物线方程为x²=-2p（y-4），p＞0，
由已知得

p

2

=4-

15

4

=

1

4

，解得p=

1

2

，
∴抛物线C的方程为x²=-（y-4）．
（Ⅱ）证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+b，（b≠4）
联立

y=kx+b x2=-y+4

，得x²+kx+b-4=0，
△=k²-4b+16＞0，
设M（x₁，-x12+4），N（x₂，-x22+4），则x₁+x₂=-k，x₁x₂=b-4，
∵∠MPN=90°，
∴

PM

•

PN

=（x₁，y₁-4）•（x₂，y₂-4）
=x₁x₂+（y₁-4）（y₂-4）=x₁x₂+（x₁x₂）²=0，
∴b-4+（b-4）²=0，∵b≠4，解得b=3，∴直线l为：y=kx+3，
∴直线MN过定点（0，3）．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程过定点坐标的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．