Question

（2013•徐汇区一模）函数f(x)=

ax2-1

x

在区间（0，+∞）上单调递增，那么实数a的取值范围是（　　）

A．a≥0

B．a＞0

C．a≤0

D．a＜0

Answer 1

分析：先求函数f(x)=

ax2-1

x

的导数，根据函数的增区间上导数大于0，可知，若函数f(x)=

ax2-1

x

在区间（0，+∞）上单调递增，则x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，再通过分类讨论a为何值时f′（x）＞0恒成立即可求出a的范围．

解答：解：f′（x）=

2ax2-ax2+1

x2

=

ax2+1

x2

，
∵函数f(x)=

ax2-1

x

在区间（0，+∞）上单调递增，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立．
即当x∈（0，+∞）时，ax²+1＞0恒成立，
当a＞0时，y=ax²+1的图象为开口向上，最低点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax²+1＞0恒成立．
当a=0时，1＞0恒成立．
当a＜0时，y=ax²+1的图象为开口向下，最高点为（0，1）的抛物线，∴当x∈（0，+∞）时，ax²+1＞0不恒成立．
∴实数a的取值范围是a≥0，
故选A

点评：本题主要考查函数的单调性与导数之间的关系，在函数的单调增区间上导数大于0恒成立．