Question

已知圆的方程是：x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0，其中a≠1，且a∈R．
（1）求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；
（2）求与圆相切的直线方程；
（3）求圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）把给出的方程展开整理，把含有a的项放在一起后提取a，然后联立方程组求解定点；
（2）因为a≠1，所以圆心纵坐标和圆过定点的纵坐标不相等，则圆的切线斜率存在，直接设出切线的斜截式方程，由圆心到切线的距离等于半径列等式，通过比较系数求得切线的斜率和截距，则切线方程可求；
（3）由圆的方程求出圆心坐标，然后消掉参数a即可求得圆心的轨迹方程．

解答：解：（1）当a=1时，方程x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0化为（x-1）²+（y-1）²=0，
即x=y=1．方程表示定点（1，1）．
当a≠1时，将方程x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0整理得：x²+y²-4y+2-a（2x-2y）=0．
令

x2+y2-4y+2=0 x-y=0

，
解得：

x=1 y=1

，
∴圆x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0过定点（1，1）；
（2）由圆x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0，得圆的圆心坐标为（a，2-a）（a≠1），半径为

2

|a-1|．
设所求切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0，
则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即

|ka+(a-2)+b|

k2+1

=

2

|a-1|恒成立．
整理得等式：2（1+k）²a²-4（1+k²）a+2（1+k²）=（k+1）²a²+2（b-2）（k+1）a+（b-2）²恒成立．
比较系数可得：

2(1+k2)=(k+1)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2

解得：k=1，b=0，
∴所求的切线方程是y=x；
（3）圆心坐标为（a，2-a）（a≠1），又设圆心坐标为（x，y），
则有：

x=a y=2-a

，消去参数得x+y-2=0（x≠1）．
∴所求的圆心的轨迹方程为x+y-2=0（x≠1）．

点评：本题考查了轨迹方程，训练了圆系方程过定点的求法，训练了利用比较系数法求待求系数，考查了参数方程化普通方程，属中高档题．