Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∠B₁A₁C₁=90°，D、E分别为CC₁和A₁B₁的中点，且A₁A=AC=2AB=2．
（I）求证：C₁E∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求点C₁到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明C₁E∥平面A₁DB，利用线面平行的判定，证明线线平行即可，取A₁B中点F，连接EF，FD，证明C₁EFD为平行四边形，可得C₁E∥DF，从而问题得证；
（Ⅱ）利用等体积法，即可求点C₁到平面A₁BD的距离，则、VB-A1C1D=

1

3

•

1

2

•2×1×1=

1

3

VB-A1C1D=VC1-A1BD．

解答：（Ⅰ）证明：取A₁B中点F，连接EF，FD．
∵EF∥

1

2

B1B，又B₁B∥C₁C，C1D=

1

2

C1C，
∴EF平行且等于

1

2

C1D，
∴C₁EFD为平行四边形，…（4分）
∴C₁E∥DF，又DF?平面A₁DB，
∴C₁E∥平面A₁DB．…（6分）
（Ⅱ）解：A1B=AD=

5

，BD=

6

，…（8分）
所以S△A1BD=

1

2

6

•

5- 3 2

=

1

2

21

，
设点C₁到平面A₁BD的距离为d，则VB-A1C1D=

1

3

•

1

2

•2×1×1=

1

3

VB-A1C1D=VC1-A1BD，…（10分）
∴

1

3

•

1

2

•

21

 d=

1

3

，
∴d=

2 21

21

．
所以点C₁到平面A₁BD的距离为

2 21

21

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查点到面的距离的计算，解题的关键是利用线面平行的判定证明线面平行，利用等体积法求点到面的距离．