Question

【题目】已成椭圆C： =1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2 ， 上下顶点分别为B2/B1 ， 左右焦点分别为F1、F2 ， 其中长轴长为4，且圆O：x2+y2= 为菱形A1B1A2B2的内切圆．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于 n2 ， 求n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知2a=4，所以a=2，

所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），则

直线A2B2的方程为 ，即bx+2y﹣2b=0，

所以 = ，解得b2=3，

故椭圆C的方程为

（2）解：由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0，

联立 ，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）

由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0，

化简得3m2﹣n2+4=0，

设点H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），则 =﹣1，

解得：t=﹣ ，

所以△F1HN的面积 = （n+1）丨﹣ 丨= ，

代入3m2﹣n2+4=0，消去n化简得 = 丨m丨，

所以 丨m丨≥ n2= （3m2+4），解得 ≤丨m丨≤2，即 ≤m2≤4，

从而 ≤ ≤4，又n＞0，

所以 ≤n≤4，

n的取值范围为[ ，4]

【解析】（1）由题意求得a，直线A2B2的方程为 ，利用点到直线的距离公式，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得m和n的关系，利用三角形的面积公式，求得m的取值范围，代入即可求得n的取值范围．