Question

19．已知函数f（x）=（x-2m）（x+m+3）（其中m＜-1），g（x）=2^x-2．
（1）若命题p：log₂[g（x）]≥1是假命题．求x的取值范围；
（2）若命题q：x∈（-∞，3）．命题r：x满足f（x）＜0或g（x）＜0为真命题．￢r是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p：由log₂[g（x）]≥1，可得g（x）≥2，即2^x-2≥2，解得x范围．由于log₂[g（x）]≥1是假命题，即可得出x的取值范围．
（2）对于命题r：由f（x）＜0解得2m＜x＜-m-3；由g（x）＜0解得x＜1．￢r是￢q的必要不充分条件，可得r是q的充分不必要条件．即可得出．

解答 解：（1）命题p：由log₂[g（x）]≥1，可得g（x）≥2，即2^x-2≥2，即2^x≥2²，解得x≥2．
∵log₂[g（x）]≥1是假命题，∴x＜2．
∴x的取值范围是x＜2．
（2）对于命题r：由f（x）＜0解得2m＜x＜-m-3；
由g（x）＜0解得x＜1．
￢r是￢q的必要不充分条件，∴r是q的充分不必要条件．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m＜3}\\{-m-3＜3}\end{array}\right.$，m＜-1，解得-6＜m＜-1．
∴m的取值范围是-6＜m＜-1．

点评 本题考查了不等式的解法、对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．