Question

【题目】已知函数f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx．
（1）当x∈[0， ]时，求f（x）的值域；
（2）用五点法在图中作出y=f（x）在闭区间[﹣ ， ]上的简图；
（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx

=sin2x+ cos2x

=2sin（2x+ ），

∵x∈[0， ]，2x+ ∈[ ， ]，

∴f（x）=2sin（2x+ ）∈[﹣ ，2]．

（2）解：列表：

2x+	0		π		2π
x	﹣
y	0	2	0	﹣2	0

作图：

（3）解：把y=sinx的图象向左平移 个单位，可得函数y=sin（x+ ）的图象；

再把所得图象上点的横坐标变为原来的 倍，可得函数y=sin（2x+ ）的图象；

再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数y=2sin（2x+ ）的图象．

【解析】（1）由条件利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+ ），由x∈[0， ]根据正弦函数的定义域和值域即可得解．（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【考点精析】通过灵活运用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握描点法及其特例—五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）；图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象即可以解答此题．