【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC= ,点E在AD上,且AE=2ED. (Ⅰ)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;
(Ⅱ)当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时,直线PC与平面PAB所成的角为45°?
【答案】(Ⅰ)证明:∵AB⊥AC,AB=AC,∴∠ACB=45°, ∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,
∴∠ACD=45°,即AD=CD,
∴ ,
∵AE=2ED,CF=2FB,∴ ,
∴四边形ABFE是平行四边形,则AB∥EF,
∴AC⊥EF,
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF,
∵PA∩AC=A,
∴EF⊥平面PAC,∵EF平面PEF,
∴平面PEF⊥平面PAC.
(Ⅱ)解:∵PA⊥AC,AC⊥AB,
∴AC⊥平面PAB,
则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角,
若PC与平面PAB所成夹角为45°,则 ,即 ,
取BC的中点为G,连接AG,则AG⊥BC,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,
则B(1,﹣1,0),C(1,1,0), , ,
∴ , ,
设平面PBE的法向量 ,则 即
令y=3,则x=5, ,∴ ,
∵ 是平面PAB的一个法向量,
∴ ,
即当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为 时,直线PC与平面PAB所成的角为45°.
【解析】(Ⅰ)推导出∠ACB=45°,从而∠ACD=45°,进而四边形ABFE是平行四边形,推导出AC⊥EF,PA⊥EF,从而EF⊥平面PAC,由此能证明平面PEF⊥平面PAC.(Ⅱ)由PA⊥AC,AC⊥AB,知AC⊥平面PAB,则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角,取BC的中点为G,连接AG,则AG⊥BC,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成的角.
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【题目】已知 , ,且 . (Ⅰ)试将y表示为x的函数f(x),并求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长,若 ,且 ,a+b=6,求△ABC的面积.
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【题目】已知函数f(x)= ,直线y= x(a≠0)为曲线y=f(x)的一条切线.
(1)求实数a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函数h(x)=g(x)﹣bx2为增函数,求实数b的取值范围.
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【题目】若曲线f(x)= (e﹣1<x<e2﹣1)和g(x)=﹣x3+x2(x<0)上分别存在点A、B,使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,则实数a的取值范围是( )
A.(e,e2)
B.(e, )
C.(1,e2)
D.[1,e)
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【题目】下列选项中说法正确的是( )
A.命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件
B.向量 , 满足 ,则 与 的夹角为锐角
C.若am2≤bm2 , 则a≤b
D.“?x0∈R,x02﹣x0≤0”的否定是“?x∈R,x2﹣x≥0”
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=1,M为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)设直线AM与平面ABCD所成的角为α,二面角M﹣AC﹣B的大小为β,求sinαcosβ的值.
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【题目】已知函数 ,集合M={0,1,2,3,4,5,6,7,8},现从M中任取两个不同元素m,n,则f(m)f(n)=0的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC= BC=1,E是PC的中点,面PAC⊥面ABCD.
(Ⅰ)证明:ED∥面PAB;
(Ⅱ)若PC=2,PA= ,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
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