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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC= ,点E在AD上,且AE=2ED. (Ⅰ)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;
(Ⅱ)当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时,直线PC与平面PAB所成的角为45°?

【答案】(Ⅰ)证明:∵AB⊥AC,AB=AC,∴∠ACB=45°, ∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,
∴∠ACD=45°,即AD=CD,

∵AE=2ED,CF=2FB,∴
∴四边形ABFE是平行四边形,则AB∥EF,
∴AC⊥EF,
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF,
∵PA∩AC=A,
∴EF⊥平面PAC,∵EF平面PEF,
∴平面PEF⊥平面PAC.
(Ⅱ)解:∵PA⊥AC,AC⊥AB,
∴AC⊥平面PAB,
则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角,
若PC与平面PAB所成夹角为45°,则 ,即
取BC的中点为G,连接AG,则AG⊥BC,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,
则B(1,﹣1,0),C(1,1,0),

设平面PBE的法向量 ,则
令y=3,则x=5, ,∴
是平面PAB的一个法向量,

即当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为 时,直线PC与平面PAB所成的角为45°.

【解析】(Ⅰ)推导出∠ACB=45°,从而∠ACD=45°,进而四边形ABFE是平行四边形,推导出AC⊥EF,PA⊥EF,从而EF⊥平面PAC,由此能证明平面PEF⊥平面PAC.(Ⅱ)由PA⊥AC,AC⊥AB,知AC⊥平面PAB,则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角,取BC的中点为G,连接AG,则AG⊥BC,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成的角.

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