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已知a>0,bR,函数

(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,

(ⅰ)函数的最大值为|2ab|﹢a

(ⅱ) +|2ab|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求ab的取值范围.

【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。

(Ⅰ)

(ⅰ)

b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,

此时的最大值为:=|2ab|﹢a

b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,

此时的最大值为:

=|2ab|﹢a

综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|2ab|﹢a

(ⅱ) 要证+|2ab|﹢a≥0,即证=﹣≤|2ab|﹢a

亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2ab|﹢a

,∴令

b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,

此时的最大值为:=|2ab|﹢a

b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,

≤|2ab|﹢a

综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2ab|﹢a

+|2ab|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|2ab|﹢a

且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2ab|﹢a)要大.

∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,

∴|2ab|﹢a≤1.

b为纵轴,a为横轴.

则可行域为:,目标函数为zab

作图如下:

由图易得:当目标函数为zab过P(1,2)时,有

∴所求ab的取值范围为:

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)

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