Question

【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴ =（2，0，﹣4）， =（0，2，4），
∴cos＜ ， ＞= =-
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为： ；
（II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为 =（x，y，z），
则可得 ，即 ，取x=1可得 =（1，﹣1， ），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜ ， ＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
【解析】（Ⅰ）以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得 和 的坐标，可得cos＜ ， ＞，可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0），设平面C1AD的法向量为 =（x，y，z），由 可得 =（1，﹣1， ），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜ ， ＞|= ，进而可得答案．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．