Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±

3

x，右顶点为（1，0）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x₀，y₀）．当x₀≠0时，求

y0

x0

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

x，得到

b

a

=

3

，又a=1，即可得到双曲线的方程；
（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，再由判别式大于0，运用韦达定理，以及中点坐标公式，得到中点的横坐标，再由直线方程得到纵坐标，进而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±

b

a

x，
则由题意得，

b

a

=

3

，a=1，解得b=

3

，
则双曲线的方程为：x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，得到，

y=x+m x2- y2 3 =1

，消去y，得2x²-2mx-m²-3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则判别式△=4m²+8（m²+3）＞0，x₁+x₂=m，
中点M的x₀=

m

2

，y₀=x₀+m=

3

2

m，
则有

y0

x0

=3．

点评：本题考查双曲线的方程和性质及运用，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理及中点坐标公式解题，考查运算能力，属于中档题．